Question

已知x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根(b2-4ac≥0)

(1)用配方法求出方程的两个根X1、X2 （2）计算X1+X2与X1乘以X2的值 （3） 从（2）中你能得出什么样的结论？并利用上述问题回答一下问题: 若X1、X2分别于一元二次方程2x²-4x+1=0的两个根，求（X1+1)(X2+1)的值。

Answer 1

1)ax2+bx+c=0
a(x^2+bx/a)+c=0
a[x+b/(2a)]^2+(4ac-b^2)/4a=0
a[x+b/(2a)]^2=(b^2-4ac)/4a
x+b/(2a)=±√[(b^2-4ac)/(4a^2)]
则x=-b/(2a)±√（b^2-4ac)/(2a)
2)x1+x2=-b/(2a)+√（b^2-4ac)/(2a)-b/(2a)-√（b^2-4ac)/(2a)
=-b/a
x1x2={-b/(2a)+√（b^2-4ac)/(2a)}{-b/(2a)-√（b^2-4ac)/(2a)}
=b^2/(4a^2)-(b^2-4ac)/(4a^2)
=4ac/(4a^2)
=c/a
3)即对于一元二次方程ax^2+bx+c=0
方程的根与系数存在如下关系：(前提b^2-4ac>=0)
x1+x2=-b/a(两根之和）
x1x2=c/a（两根之积）
其实这个关系就是我们后面要学到的韦达定理。
4）(x1+1)(x2+1)
=(x1+x2)+x1x2+1
=-b/a+c/a+1

Answer 2

﹙1﹚ax2+bx+c=0
a(X²＋b/a·x＋b²/4a²)=-c＋b²/4a
a﹙x＋b/2a﹚²=﹙b²-4ac﹚/4a
∴﹙x＋b/2a﹚²=﹙b²-4ac﹚/4a²
∴﹙x＋b/2a﹚=±√b²-4ac/2a
∴x=﹙-b±√b²-4ac/2a﹚/2a
∴x1=﹙ -b-√ b²-4ac﹚/2a , x2==﹙ -b-√ b²＋4ac﹚/2a .
﹙2﹚x1＋x2=-b/a,
x1·x2=c/a
结论:如果一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1,x2,
那么x1＋x2=-b/a, x1·x2=c/a
﹙3﹚若X1、X2分别于一元二次方程2x²-4x+1=0的两个根
∴x1＋x2=2, x1·x2=½.
（X1+1)(X2+1)
=﹙x1＋x2﹚＋ x1·x2＋1
=2＋½＋1
=7/2

Answer 3

ax1^2+bx1+c=0与ax2^2+bx2+c=0相减得[a(x1+x2)-b](x1-x2)=0。（x1-x2）不为零则x1+x2=b/a。