Question

大学函数极限问题

设a>0,确定p的值，使得极限lim(x->无穷）x^p[a^(1/x)-a(1/(x+1))]存在
我们没学Taylor展开

Answer 1

用Taylor展式：a^(1/x)＝e^(lna/x)
＝1+lna/x+(lna)^2/(2x^2)+o(1/x^2)，
a^(1/(x+1))＝e^(lna/(x+1))
＝1+lna/(x+1)+(lna)^2/(2(x+1)^2)+o(1/x^2)
由此知道a^(1/x)－a^(1/(x+1))
等价于lna/(x(x+1))+(lna)^2/(2x^2)－(lna)^2/(2(x+1)^2)
因此当p＝2时，原表达式有极限为lna；
当p<2时，原表达式有极限为0。综上，p<=2。

追问

能不能不用Taylor展开。。。。我们没学到。

追答

e^x－1等价于x，当x趋于0时；（这个知道吧？）
于是a^x－1＝e^(xlna)－1等价于xlna，当x趋于0时。
因此a^(1/x)－a^(1/(x+1))
＝a^(1/x)[1－a^(1/(x+1)－1/x)]
利用上面的结论，当x趋于无穷时，1/(x+1)－1/(x)趋于0，
以及a^(1/x)趋于1，上式等价于
(1/x－1/(x+1))*lna＝lna/(x(x+1))等价于lna/(x^2)。
于是得到结论：p<=2时有极限。