Question

大学函数极限问题

f在[0,2a]上连续，f(0)=f(2a).求证：存在t∈[0,a]使得f(t)=f(t+a)

Answer 1

令F(x)=f(x)-f(a+x)
显然由f在[0,2a]上连续，知F在[0,a]上连续
F(0)=f(0)-f(a)
F(a)=f(a)-f(2a)=f(a)-f(0)
F(a)*F(0)=-(f(0)-f(a))^2≤0
若等号成立，则f(0)=f(a)，这样存在t=0使得f(t)=f(t+a)。
若等号不成立，则F(a)*F(0)=-(f(0)-f(a))^2<0，即函数F(x)在x=0和x=a处异号。
又F(x)在[0,a]上连续，根据零点定理，至少存在一点t∈(0,a)，使得F(t)=0=f(t)-f(t+a)
综上可知存在t∈[0,a]使得f(t)=f(t+a)

Answer 2

令 F(x) = f(a+x) - f(x) 则F(x)在[0,2a]上连续
F(a) = f(2a) - f(a)
F(0) = f(a) - f(0) = - F(a)
由闭区间连续函数介值定理，必然存在一点，使得F(X)的值为0
故存在t∈[0,a]使得f(t)=f(t+a)

Answer 3

构造函数g(x)=f(x+a)-f(x),则g(0)=f(a)-f(0),g(a)=f(2a)-f(a)=-g(0);由于函数f,g均为连续函数，故当g(0)=0是，0或a点即满足要求；当g(0)>0,or<0时，g(a)均与之异号，由连续函数性质可知，[0,a]之间必存在t使得g(t)=0,则得证