Question

如图 已知矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O，OF垂直于AC于O,交AB于E,交CB的延长线

于F，求证 OB是OE与OF的比例中项

Answer 1

做EO延长线交CD于G
因为AO=CO，对顶角，平行角，角边角证出 三角形AEO全等COG

EO/OB =OG/OC=tg角DCA

因为OE垂直AC 角DCA=90-FGC
因为是矩形 FC垂直DC 所以角FDC+角F=90

得出角DCA=角F

因为OB＝OC　 oB/OF=OC/OF =tg角F 所以也等于tg角DCA=EO/OB

得证

Answer 2

解：∵ABCD为矩形，
∴OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA．
∵OF⊥AC，AB⊥FC，
∴∠F+∠FEB=∠AEO+∠EAO=90°．
∵∠FEB=∠AEO，
∴∠F=∠BAO=∠OBE．
∵∠FOB=∠BOF，
∴△OBE∽△OFB，
∴OBOE=OFOB，
∴OB2=OE•OF．
即OB是OE，OF的比例中项

Answer 3

证△OBE∽△OFB