Question

已知函数f(x)=2^x-1(x<=0),f(x-1）+1,x>0,把方程f(x)=x的根按照从大到小的顺序排列成一个数列﹛an﹜

求通项公式。请自己作答不要把已有答案抄上

Answer 1

当x<=0时，函数f(x)=2^x-1，方程f(x)=x即2^x=x+1，显然只有一个根x=0
当x>0时，函数f(x)=f(x-1)+1
若0<x<=1，则x-1<=0，即有f(x-1)=2^(x-1)-1，则函数f(x)=2^(x-1)。而方程2^(x-1)=x即2^x=2x，显然也只有一个根x=1
若1<x<=2，则0<x-1<=1，即有f(x-1)=2^[(x-1)-1]=2^(x-2)，则函数f(x)=2^(x-2)+1。而方程2^(x-2)+1=x的根为x=2
若2<x<=3，则1<x-1<=2，即有f(x-1)=2^[(x-1)-2]+1=2^(x-3)+1，则函数f(x)=2^(x-3)+2。而方程2^(x-3)+2=x的根为x=3
...
由此可见，当x>0时，方程f(x)=x的根分别1、2、3、...
由f(x)=x方程的根构成的数列为{an}={0，1，2，3，...}，显然通项an=n-1

Answer 2

是从小到大排列吧？？

f(x)=｛2^x-1(x<=0) ；f(x-1)+1(x>0) 。
因此 f(0)=2^0-1=0 ，f(1)=f(0)+1=1 ，f(2)=f(1)+1=2 ，f(3)=f(2)+1=3 ，。。。。
就是说，满足 f(x)=x 的值为 0，1，2，3.。。。。。，
所以数列 an=n-1 。

Answer 3

题目敲错了。

Answer 4

数列，忘记了