Question

设函数f(x)=|2x+1|-|x-4| (1)求不等式f(x)>2的解集 (2)求函数f(x)的最小值

Answer 1

(1) f(x)=|2x+1|-|x-4| 零点为 x=-1/2, x=4
分段讨论
x<-1/2时， f(x)=-(2x+1)+(x-4)=-x-5， -x-5>2, -x>7, x<-7, 与x<-1/2的交集为x<-7
-1/2<=x<4时，f(x)=2x+1+(x-4)=3x-3， 3x-3>2, x>5/3, 与-1/2<=x<4的交集为5/3<x<4
x>=4时，f(x)=2x+1-x+4=x+5, x+5>2, x>-3, 与x>=4的交集为x>=4
综上 得x<-7或x>5/3
(2) 作出函数图象，是一个三段式的折线，可以看出x=-1/2时，f(-1/2)= - 9/2 最小
如不作图象，也可以看函数的单调性，当x<-1/2时，函数递减，当x>=-1/2时，函数递增，所以x=-1/2时，有最小值f(-1/2)=-9/2

Answer 2

(1)分类讨论
1.x<-1/2
f(x)=-1-2x-(4-x)
=-5-x
2.-1/x<=x<4
f(x)=2x+1-(4-x)
=3x-3
3.4<=x
f(x)=2x+1-(x-4)
=x+5

对于每个区间分别解
x<-1/2, -5-x>2,即x<-7 取交集得 x<-7
-1/2<=x<4, 3x-3>2,即x>5/3 取交集得5/3<x<4
4<=x,x+5>2,即x>3取交集得x>=4
综上，x<-7或者x>5/3

(2)同样分类讨论
在x<-1/2,f(x)=-5-x最小，即x最大为-1/2,f(x)最小为-5+1/2=-4.5
在-1/2<=x<4,f(x)=3x-3,最小即x最小为-1/2,f(x)最小为-4.5
4<=x,f(x)=x+5，最小为x最小=4，f(x)最小为9

综上，x=-1/2时f(x)最小为-4.5

Answer 3

1.x>4,f(x)=2x+1-(x-4)>2
2x+1-x+4>2
x>-3
x>4
2.-1/2<=x<=4
2x+1+x-4>2
3x>5
x>5/3
5/3<x<=4
3.x<-1/2
-2x-1+x-4>2
-x>7
x<-7
x<-7
所以x<-7orx>5/3
f(x)=x+5,x>4
=3x-3(-1/2<=x<=4)
=-x-5(x<-7)
fmin=2

Answer 4

x>1 ,x<5/3
f(x)min=0

Answer 5

(1)5/3<x<4
(2)f(x)min=-9/2