Question

已知tanα、tanβ是方程x^2-3x-3=0的两根，求sin^2(α+β)-3sin(α+β)cos(α+β)-3cos^2(α+β)的值

Answer 1

tana+tanb=3
tanatanb=-3
tan(a+b)=3/[1-(-3)]=3/4=sin(a+b)/cos(a+b)
sin(a+b)=(3/4)*cos(a+b)
[sin(a+b)]^2+[cos(a+b)]^2=1
[cos(a+b)]^2=16/25
sin^2(α+β)-3sin(α+β)cos(α+β)-3cos^2(α+β)
=cos^2(a+b)[tan^2(a+b)-3tan(a+b)-3]
=(16/25)[9/16-9/4-3]
=-3

Answer 2

解：∵tanα，tanβ是方程x²－3x－3=0的两根
∴由韦达定理得：tanα＋tanβ=3，
tanα×tanβ
=﹣3
∴tan（α＋β）=（tanα＋tanβ）／【1－tanα×tanβ】
=3／4
即：sin（a＋β）／cos（a＋β）=3／4
∴sin²（a＋β）=（9／16）·cos²（a＋β）①
又sin²（a＋β）=1－cos²（a＋β）
②
由①②得：cos²（a＋β）=16／25
∴sin²（α＋β）－3sin(α＋β)cos（α＋β）－3cos²（α＋β）
=（tan²（α＋β）－3tan(α＋β）－3
）·cos²（α＋β）
=（9／16
－9／4－3）·16／25