Question

cos2xcosx的不定积分怎么算 求详细过程

Answer 1

∫cos2xcosxdx
＝∫［1－2（sinx）^2］d（sinx）
＝∫d（sinx）－2∫（sinx）^2d（sinx）
＝sinx－（2/3）（sinx）^3＋C
＝（1/3）sinx［3－2（sinx）^2］＋C
＝（1/3）sinx（2＋cos2x）＋C
＝（2/3）sinx＋（1/3）sinxcos2x＋C。

追问

不对滴啊 答案 fcos2xcosx =1/2f（cosx+cos3x）dx 这是第一步 我就是这个看不懂

追答

结果是一样的！
应用积化和差公式：cosAcosB＝（1/2）［cos（A－B）＋cos（A＋B）］。
令上式中的A＝2x、B＝x，得：cos2xcosx＝（1/2）（cosx＋cos3x）。
∴∫cos2xcosxdx
＝（1/2）∫（cosx＋cos3x）dx＝（1/2）∫cosxdx＋（1/6）∫cos3xd（3x）
＝（1/2）sinx＋（1/6）sin3x＋C。

下面证明：（2/3）sinx＋（1/3）sinxcos2x＝（1/2）sinx＋（1/6）sin3x。
∵（2/3）sinx＋（1/3）sinxcos2x

＝（2/3）sinx＋（1/3）sinx［1－2（sinx）^2］
＝（2/3）sinx＋（1/3）sinx－（2/3）（sinx）^3
＝sinx－（2/3）（sinx）^3。

（1/2）sinx＋（1/6）sin3x

＝（1/2）sinx＋（1/6）（sinxcos2x＋cosxsin2x）
＝（1/2）sinx＋（1/6）sinx［1－2（sinx）^2］＋（1/3）sinx（cosx）^2
＝（1/2）sinx＋（1/6）sinx－（1/3）（sinx）^3＋（1/3）sinx［1－（sinx）^2］
＝（2/3）sinx－（1/3）（sinx）^3＋（1/3）sinx－（1/3）（sinx）^3
＝sinx－（2/3）（sinx）^3。

∴（2/3）sinx＋（1/3）sinxcos2x＝（1/2）sinx＋（1/6）sin3x。

注：原函数的表达形式经恒等变换，可能有多种呈现形式，不必追求与资料中的答案一致。

Answer 2

cos2x=1-2(sin^2)x
∫cos2xcosxdx
=∫1-2(sin^2)xdsinx
=sinx-(2/3)sin^3x+c

Answer 3

分部积分法

Answer 4

（1-sinx^2）/2 dsinx,后面你懂得

追问

不懂啊 = =。 麻烦大哥写一写么