Question

微分方程y''+y'+y=0的通解为

Answer 1

特征方程为：r^2+r+1=0,
r=-1/2±√5i/2,
有一对共轭复根，
实部α=-1/2，虚部β=±√5/2
∴微分方程通解为：y=e^(-x/2)[C1cos( √5x/2)+C2sin(√5x/2)].

追问

共轭复根 怎么求我忘了 谢谢

追答

就是解一元二次方程,
根据公式法,r=(-1±√(1-4)/2
=(-1±√(-3)/2
=(-1±√3i)/2,
把√(-1)变成i,即可,
根号内b^2-4ac<0,故是虚根,正负加减,虚部为0,
太勿忙了搞 错了,不是√5,是√3,
∴r=(-1±√3i)/2,
实部α=-1/2，虚部β=±√3/2
∴y=e^(-x/2)[C1cos( √3x/2)+C2sin(√3x/2)].

Answer 2

可以将其化为r^2+pr+q=0 算出两根为r1，r2。
即方程为r^2+r+1=0;
解得r1=-1/2+√3i;r2=-1/2-√3i;
当方程有两个共轭复根的时候再利用公式r1=α+βi r2=α-βi y=e^(αx)[C1cosβ+C2sinβ]；
可得微分方程的通解为：y=e^(-x/2)[C1cos(√3)+C2sin(√3)];(式中r和C后面的1、2都是下标)；
希望可以帮到你。

Answer 3

可以啊
先解出特征根：rr+r+1=0,
得r=[-1加减(根号3)i]/2
根据通解的形式，因为特征根是一对共轭复数
所以通解为：y=e^(-x/2)[c1cos(根号3)x/2+c2sin(根号3)x/2]
这公式可
以看一下微分方程这一章，任一本高数书上都应该有的，这是常系数线性微分方程。