Question

用放缩法证明数列极限的问题

为什么证明f(n)<e要放缩的时候，还要将f（n）放大？既然已经给定了e，那就说明它是定值了啊。既然是定值，那就不应该找一个比f(n)还大的式子来代替f(n)了 啊。

Answer 1

你看，定义中说的是不是 “对于任意给定的e"。一旦任意了，就必须证明所有情况。
但是，如果，能用压倒性的证明就证明了结论。
如果将f(n)放大了还不能大过e,那么这就说明，f(n)是绝对不超过e的。
放缩一般就是将复杂的式子变成简单式子，方便证明的。

虽然说用了“给定”这个词，但实际上，还是任意的e，e并不是确定不变的。之所以这么叫，是因为，e是一个无穷小，直接说它等于多少不方便，用“任意给定”，就表示了这种极限过程。

Answer 2

对于这个问题来说

首先复述下定义，任取的ε>0，总存在一个N，当n>N时，lan-al<ε

这句话说的意思你要明白，就是不管你取多么小的距离，an这个数列中最多只有有限项（N项），会使得an和a的距离大于取的距离。

N需不需要研究它最小的情况呢？一方面，因为我们只要保证有有限项不满足就可以了，没必要一定知道多少项，另一个方面，因为ε是任取的，故这样没有必要。

为什么可以将f（n）放大，也就是我没必要研究最小的N，将f（n）放大后他小于ε，那原来的f（n）就小于了。

Answer 3

要证明f(n)<e，可先放大f(n)，即f(n)<A(n)对于任意n都成立。我们只要证明A(n)≤e对于任意n都成立就可以了。关键就在于怎样找到这A(n)，而使得A(n)≤e证明起来较容易。