Question

如图1，已知线段AB的长为2a，点P是AB上的动点（P不与A，B重合

如图1，已知线段AB的长为2a，点P是AB上的动点（P不与A，B重合），分别以AP、PB为边向线段AB的同一侧作正△APC和正△PBD．（2）连接AD、BC，相交于点Q，设∠AQC=α，那么α的大小是否会随点P的移动面变化？请说明理由；（3）如图2，若点P固定，将△PBD绕点P按顺时针方向旋转（旋转角小于180°），此时α的大小是否发生变化？（只需直接写出你的猜想，不必证明）

Answer 1

俊狼猎英团队为您解答

⑵α=60°。
证明：∵ΔAPC、ΔBPD是等边三角形，
∴PA=PC，PB=PD，∠APC=∠BPD=∠PDB=∠PBD=60°，
∴∠APD=∠CPB=180°，
∴ΔAPD≌ΔCPB，∴∠PDQ=∠PBQ，
∵∠AQB=∠BDQ+∠DBQ
=∠PDQ+∠PDC+∠DBQ
=∠PBQ+60°+∠DBQ=120°。
∴α=60°。
⑶依然成立：α=60°。
(同样ΔAPD≌ΔCPB得∠PDQ=∠PBQ)。

Answer 2

（1）设AP的长是x，则BP=2a-x，∴S△APC+S△PBD= =a时△APC与△PBD的面积之和取最小
故答案为：a；
（2）α的大小不会随点P的移动而变化，
理由：∵△APC是等边三角形，
∴PA=PC，∠APC=60°，
∵△BDP是等边三角形，
∴PB=PD，∠BPD=60°，
∴∠APC=∠BPD，
∴∠APD=∠CPB，
∴△APD≌△CPB，
∴∠PAD=∠PCB，
∵∠QAP+∠QAC+∠ACP=120°，
∴∠QCP+∠QAC+∠ACP=120°，
∴∠AQC=180°-120°=60°；
（3）此时α的大小不会发生改变，始终等于60°．
理由：∵△APC是等边三角形，
∴PA=PC，∠APC=60°，
∵△BDP是等边三角形，
∴PB=PD，∠BPD=60°，
∴∠APC=∠BPD，
∴∠APD=∠CPB，
∴△APD≌△CPB，
∴∠PAD=∠PCB，
∵∠QAP+∠QAC+∠ACP=120°，
∴∠QCP+∠QAC+∠ACP=120°，
∴∠AQC=180°-120°=60°．