Question

证明f[x]=2-x²/x²+1在[3,4]上的单调性,并求f[x]在【3,4】上的值域

Answer 1

（1）f(x)=(2-x²)/(x²+1)=3/(x²+1)-1
令3<=x1<x2<=4
则f(x2)-f(x1)=[(x1-x2)(x1+x2)]/[(x2^2+1)(x1^2+1)]
显然x1+x2>0，x2^2+1>0，x1^2+1>0，x1-x2<0
所以f(x2)-f(x1)<0，即f(x)在区间上递减

（2）因f(x)在区间上递减，则fmax=f(3)=-7/10，fmin=f(4)=-14/17
所以f(x)在区间上的值域为[-14/17,-7/10]

Answer 2

f '(x)=[-2x(x²+1)-2x(2-x²)/(x²+1)²
-(-6x)//(x²+1)²<0
所以函数f(x)在[3,4]上单调减；
(2)
因为函数f(x)在[3,4]上是减函数，所以
左端点值最大
f(MAX)=f(3)=-7/10
右端点值最小
f(min)=f(4)= -14/17
所以函数的值域为：
[-14/17,-7/10]