证明f[x]=2-x²/x²+1在[3,4]上的单调性,并求f[x]在【3,4】上的值域
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(1)f(x)=(2-x²)/(x²+1)=3/(x²+1)-1
令3<=x1<x2<=4
则f(x2)-f(x1)=[(x1-x2)(x1+x2)]/[(x2^2+1)(x1^2+1)]
显然x1+x2>0,x2^2+1>0,x1^2+1>0,x1-x2<0
所以f(x2)-f(x1)<0,即f(x)在区间上递减
(2)因f(x)在区间上递减,则fmax=f(3)=-7/10,fmin=f(4)=-14/17
所以f(x)在区间上的值域为[-14/17,-7/10]
令3<=x1<x2<=4
则f(x2)-f(x1)=[(x1-x2)(x1+x2)]/[(x2^2+1)(x1^2+1)]
显然x1+x2>0,x2^2+1>0,x1^2+1>0,x1-x2<0
所以f(x2)-f(x1)<0,即f(x)在区间上递减
(2)因f(x)在区间上递减,则fmax=f(3)=-7/10,fmin=f(4)=-14/17
所以f(x)在区间上的值域为[-14/17,-7/10]
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