Question

定积分的比较大小的题目，求解啊……书上的答案略了

Answer 1

最简单的是根据几何意义

f(x)>0    说明函数在区间[a,b]上图像在x轴上方 

f`(x)<0  说明函数在区间[a,b]上是单调递减的

f``(x)>0 说明函数在区间[a,b]上是凹的

根据上面三条信息，可以画出f(x)的草图。

 

S1是曲边梯形ABCD的面积 S3是梯形ABCD(图上忘了连接CD了！)的面积  S2是矩形ABCE的面积

显然有 S2<S1<S3

另一种就是用定积分的比较性质了

线段CD的方程：y=f(a)+(x-a)[f(b)-f(a)]/(b-a)

凹弧CD的方程：y=f(x)

线段CE的方程：y=f(b)

根据草图上线段CD、凹弧CD、线段CE之间的位置关系，易知：

f(a)+(x-a)[f(b)-f(a)]/(b-a)>f(x) >f(b)

积分得 ：

∫[a,b]{f(a)+(x-a)[f(b)-f(a)]/(b-a)}dx>∫[a,b]f(x)dx>∫[a,b]f(b)dx

[f(a)+f(b)](b-a)/2>∫[a,b]f(x)dx>f(b)(b-a)

即 S3>S1>S2

Answer 2

f'(x) < 0 所以 f(b) < f(a) 这你能看出来的吧
S2和S3其实只用比较 2f(b)和 f(a) + f(b)的大小就好了 所以 S2 < S3

剩下S1,S3稍微定性比较一下就好了
f''(x) > 0 说明 f(x) 是类似于 x^2, e^x这种凹函数。
S3所表示的是一个梯形的面积，和S1相比，上底下底和直角边都重合了
唯一不同的是斜边 由于f(x)是凹函数，所以函数图象在S3的斜边以下
故S3 > S1 > S2