Question

抛物线y =x平方-2x-3与x轴交于A,B两点(A点在B点的左侧) （1）抛物线上有一动点P，求当点P在抛物线上滑动

到什么位置时，△PAB的面积为10，并求出此时点P的坐标；
（2）抛物线交Y轴于点C,在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出点Q的坐标;若不存在，请说明理由。

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Answer 1

（1）由 y=x^2-2x-3=(x+1)(x-3) 可得 A（-1，0），B（3，0），
因此 |AB|=3+1=4 ，
由于 SPAB=1/2*|AB|*|yP|=10 ，所以 yP= ±5 ，
令 x^2-2x-3= -5 ，则 x^2-2x+2=0 ，由于判别式=4-8<0 ，因此无解；
令 x^2-2x-3=5 ，则 x^2-2x-8=0 ，(x+2)(x-4)=0 ，
解得 x= -2 或 x=4 ，
所以 P 坐标为 （-2，5）或（4，5）。
（2）令 x=0 得 y= -3 ，因此 C（0，-3），
由于 x^2-2x-3=(x-1)^2-4 ，因此抛物线对称轴方程为 x= 1 ，
设 Q（1，b）是对称轴上任一点，则△QAC的周长为
|QA|+|QC|+|AC|=|QB|+|QC|+|AC|>=|BC|+AC| ，
当 Q、C、B 共线时，上式取等号，容易求得此时 Q（1，-2），
因此，对称轴上存在点 Q 使△QAC 的周长最小。