Question

如图所示，在△ABC中，AB≠AC，∠BAC的外角平分线交直线BC于D，过D作DE⊥AB，DF⊥AC分别交直线AB，AC于E,F

连接EF.求证：EF⊥AD

Answer 1

证法一：
∵∠3＝∠DEA－∠1＝90°－∠1
   ∠4＝∠DFA－∠2＝90°－∠2
而∠1＝∠2
∴∠3＝∠4
在△AED和△AFD中
∠1＝∠2     ∠3＝∠4     AD＝AD
∴△AED≌△AFD（角边角）
∴AE＝AF
∴△AEF是等腰三角形
∵∠1＝∠2（已知）    AE＝AF（已证）
∴AO⊥EF（等腰三角形的角平分线垂直于底边）
即  EF⊥AD（证毕）
证法二：
∵DE⊥AB     DF⊥AC（已知）
∴A、E、D、F四点共圆（如果一个四边形的一组对角互补，那么这个四边形内接于一个圆）（简称四点共圆）
∵DE⊥AB
∴AD是该圆的直径（90°的圆周角所对的弦是直径）
∵∠1＝∠2
∴△AED和△AFD是关于直径对称的轴对称图形
∴AD⊥EF（对称轴垂直平分连接对称点的线段）
即EF⊥AD（证毕）

Answer 2

因为DE⊥AB，DF⊥AC，所以AEDF四点共圆
因为∠AED和∠AFD都是90度
所以AD是圆的直径
因为∠EAO=∠FAO
∠AED和∠AFD都是90度

所以∠EDO=∠FDO=90-∠EAO=90-∠FAO
所以AE=AF
等腰三角形的角平分线也是垂线
所以AO垂直于EF，故EF⊥AD

追问

什么是四点共圆？？我才初二，这个我们还没学啊！！

追答

就是说这四个点在一个圆的边上

既然没学的话，我就用另一种解法吧
∠EAO=∠FAO，∠AED和∠AFD都是90度，AD是公共边
所以△AED和△AFD全等
所以AE=AF，△AEF是等腰三角形
又因为AD是平分线
等腰三角形的角平分线也是垂线
所以AO垂直于EF，故EF⊥AD

Answer 3

555555555555555555555.................

追问

???