Question

已知a+b=1,a、b均为正数，求证ab+1/ab大于或等于17/4

已知a+b=1,a、b均为正数，求证ab+1/ab大于或等于17/4

Answer 1

解：因为a+b=1，所以b=1-a 那么ab+1/ab=(1-b)*b+1/(1-b)*b
令t=(1-b)*b=b-b^2 ,设f(t)=t+1/t (双沟函数)
可知:f(t)在t属于(0,1)单调递减
因为a、b均为正数所以0<b<1 从而0<t = b-b^2 <1/4
所以f(t)在(0,1/4)上单调递减
所以f(t)的最小值为f(t)min=f(1/4)=1/4+1/(1/4)=17/4
即ab+1/ab的最小值为17/4
即ab+1/ab大于或等于17/4

Answer 2

ab+1/ab=1+1/ab=1+1/(1-a)a=1+1/(a-a*a) 其中(a-a*a) 是一个开口向下的抛物线。1/(a-a*a) 是一个减函数，及(a-a*a) 越大，1/(a-a*a)越小，所以ab+1/ab中，只需求的1/(a-a*a)的最小值，即a-a*a得最大值，即可。且a的取值范围为1>a>0.当a取1/2时，a-a*a值最大，代入原公式，即可求的。a=1/2,b=1/2.ab+1/ab=17/4，此时，为ab+1/ab的最小值。所以，+b=1,a、b均为正数，ab+1/ab大于或等于17/4。