Question

求答案,设为实数,函数f(x)=x2+|x-a|+1求f(x)的最小值

Answer 1

解
（1）当x>=a时，f(x)=x^2+x-a+1，该二次函数对称轴为x=-1/2；
若a>=-1/2,该函数在[a，正无穷）上单调递增，最小值为f(a)=a^2+1；
若a<-1/2，函数在[a,正无穷）上最小值即函数在R上的最小值，
根据函数性质可知 最小值为（-a^2-4a+4)/4

(2)当x<a时，f(x)=x^2-x+a+1，该二次函数对称轴为x=1/2
若a<=1/2,该函数在（负无穷，a)上单调递减，最小值为f(1/2)=a+(3/4)；
若a>1/2, 函数在(负无穷，a）上最小值即函数在R上的最小值，
根据函数性质可知 最小值为(4a+3)/4。

Answer 2

这是分类讨论的典型题型，
当x-a<0,f(x)=x^2-x+a+1=x^2-x+1/4+a+3/4=(x-1/2)^2+a+3/4,此时当x取1/2时，f(x)取最小值，为a+3/4，但是要注意，此时，a是大于1/2的，因为以上的演算条件是x-a<0；
当x-a>=0,f(x)=x^2+x-a+1=x^2+x+1/4-a+3/4=(x+1/2)^2-a+3/4,此时当x取-1/2时，f(x)取最小值，为3/4-a，但是要注意，此时，a是小于等于-1/2的，因为以上的演算条件是x-a>0；
自己可以总结一下，如果-1/2<a<=1/2,结果又是什么呢？