Question

已知f(x)=（ax+b)\（x的平方+1) 是定义在(-1,1)上的奇函数，且f(1\2)=-2\5,解不等式f(t-1)+f(t)<0

Answer 1

∵f(x)=(ax+b)/(x²+1)是奇函数，
∴0=f(x)+f(-x)=(ax+b)/(x²+1)+(-ax+b)/[(-x)²+1]=2b/(x²+1)
∴b=0
故 f(x)=ax/(x²+1)
把f(1/2)=-2/5代入上式
f(1/2)=(a/2)/[(1/2)²+1]=-2/5
解得 a=-1
所以 函数f(x)的解析式为：
f(x)=-x/(x²+1)

设-1<x1<x2<1
f(x1)-f(x2)=x2/(x2^2+1)--x1/(x1^2+1)=[x2(x1^2+1)-x1(x2^2+1)]/(x2^2+1)(x1^2+1)=[(x1x2(x1-x2)+(x2-x1)]/(x1^2+1)(x2^2+1)=(x1-x2)(x1x2-1)/(x1^2+1)(x2^2+1)
因为x1-x2<0,x1x2<1,x1x2-1<0
故有f(x1)-f(x2)>0,即有f(x1)>f(x2)
故函数在（-1，1）上是减函数。
f(t-1)+f(t)<0
f(t-1)<-f(t)=f(-t)
所以有：-1<t-1<1,-1<-t<1,t-1>-t
解得:0<t<2,-1<t<1,t>1/2
综上所述，1/2<t<1

Answer 2

f(x) = (ax+b) / (x²+1) ,定义在(-1,1)上的奇函数
f(x) + f(-x) = 0
(ax+b) / (x²+1) + (-ax+b) / (x²+1) = 0
解得b=0，f(x) = ax / (x²+1)
f(t-1)+f(t)<0
定义域 -1<t-1<t<1 , 也就是 0<t<1
a(t-1)/((t-1)²+1) + at / (t²+1) < 0
a(t-1)(t²+1) + at((t-1)²+1) < 0
化解得a(2t-1)(t²-t+1)<0
t²-t+1恒大于零
也就是a(2t-1)<0
当a>0时，结合t的定义域解得 0<t<1/2
当a<0时，结合t的定义域解得 1/2<t<1