Question

用极限定义证明若liman=A则lim根号an=根号A

Answer 1

若是知道不等式：|根号(a)－根号(b)|<=根号|a－b|。

因此，对任给的e>0，存在N，当n>N时，有|an－a|<e^2，

于是当n>N时，有|根号(an)－根号(a)|<=根号|an－a|<e。

由定义，lim 根号(an)＝根号(a)。

当a>0时，对任给的e>0，存在N，当n>N时，有

|an－a|<根号(a)e，于是当n>N时，有

|根号(an)－根号(a)|

=|an－a|/[根号(an)+根号(a)]

<=|an－a|/根号(a)

<e。由定义也成立。

建立的概念

极限的思想方法贯穿于数学分析课程的始终。可以说数学分析中的几乎所有的概念都离不开极限。在几乎所有的数学分析著作中，都是先介绍函数理论和极限的思想方法，利用极限的思想方法给出连续函数、导数、定积分、级数的敛散性、多元函数的偏导数，广义积分的敛散性、重积分和曲线积分与曲面积分的概念。

（1）函数在 点连续的定义，是当自变量的增量趋于零时，函数值的增量趋于零的极限。

（2）函数在 点导数的定义，是函数值的增量 与自变量的增量 之比 ，当 时的极限。

（3）函数在 点上的定积分的定义，是当分割的细度趋于零时，积分和式的极限。

Answer 2

若是知道不等式：|根号(a)－根号(b)|<=根号|a－b|。
因此，对任给的e>0，存在N，当n>N时，有|an－a|<e^2，
于是当n>N时，有|根号(an)－根号(a)|<=根号|an－a|<e。
由定义，lim 根号(an)＝根号(a)。
若是不知道上述不等式，那就需要分情况讨论了。
1、当a＝0时，对任给的e>0，存在N，当n>N时，有
0<=an<e^2，故当n>N时，有0<=根号(an)<e，于是
lim 根号(an)＝根号(a)。
2、当a>0时，对任给的e>0，存在N，当n>N时，有
|an－a|<根号(a)e，于是当n>N时，有
|根号(an)－根号(a)|
=|an－a|/[根号(an)+根号(a)]
<=|an－a|/根号(a)
<e。由定义也成立。总之有lim 根号(an)＝根号(a)

Answer 3

正确