Question

空间四边形ABCD中，E ,F,G,H分别是AB;AD;CD;CB上的点。且FE//GH,。求证:EF//BD

Answer 1

证明：连接BD，在△HCD中，GH是中位线，所以BD//GH；同理可得，在△ABD中，FE//BD;
所以，综上，EF//BD.

Answer 2

因为：FE//GH,GH在平面BCD内，
根据 直线与平面平行的判定定理.平面外一条直线如果平行于平面内的一条直线,那么这条直线与这个平面平行.

所以：FE//平面BCD，
又因为：过直线FE的平面ABD与平面BCD相交于直线BD，
根据 直线与平面平行的性质：一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一与此平面的交线与该直线平行
所以：EF//BD

Answer 3

EF//GH，根据线面平行定理FE//平面BCD；
EF在平面ABD上，因为BD是平面BCD与平面ABD的交线；
所以根据线面平行的性质，EF//BD

Answer 4

该问题即转化为两相交平面的交线为BD，两平面内各有一直线为EF//GH，证明EF与交线BD平行。这其实是个定理。不过反证，反设EF与BD相交于K，因为EF//GH，所以EF//面BCD，所以EF与面BCD无交点，又因为两平面相交，交点都在同一直线上，故面ABD与面BCD交点都在BD上，EF在面ABD上，且K在BD上，即K在面BCD上，即EF与面BCD有交点，矛盾，故EF//BD