Question

△ABC中,∠A=50°,点I是△ABC的内心,则∠BIC=?，若点O为△ABC的外心，则∠BOC＝？

Answer 1

若内心，则∠BIC=180-（∠IBC+∠ICB）=180-1/2(∠ABC+∠ACB)=180-1/2*130=115°

若外心，连结IA，
∠BIC=180-(∠IBC+∠ACB)=180-（180-2*50）=100°
∵IA=IB=IC，
∴∠IBA=∠IAB，∠IBC=∠ICB，
∴四角之和=2∠A=100°,
∴∠IBC+∠ICB=80°,
∴∠BIC=100°

追问

∠BOC＝

追答

将 I 换成O即可。

Answer 2

设AI、BI、CI的延长线分别交BC、AC于a、b、c。
①内心是三条角平分线的交点，∴∠BIC＝180º－½（∠B＋∠C）
＝180º－½（180º－∠A）＝180º－65º＝115º。
②外心是三条中垂线的交点，∴∠BIC＝∠cIb(对顶角相等）＝180º－∠A(半角互余，倍角互补）
＝130º。

Answer 3

△的内心是角平分线的交点
∠BIC=180°-1/2(∠B+∠C)=180°-1/2(180°-∠A)=180°-1/2(180°-50°)=115°
△的外心是三条线段的处置平分线的交点
∠BOC＝180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-(180°-2∠A)=100°

追问

为什么∠BOC＝180°-(180°-2∠A)=100°

追答

因为垂直平分线上的点连接线段两端以后，构成的三角形为等腰三角形，那么∠BAO=∠ABO,
∠CAO=∠ACO,∠CBO=∠BCO
∠OBC+∠OCB=180°-∠BAO-∠ABO-∠CAO-∠ACO=180°-2∠BAO-2∠CAO=180°-2∠A

Answer 4

115