Question

如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=8cm．点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针

如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=8cm．点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，△EFG的面积为S（cm2）
（1）当t=1秒时，S的值是多少？
（2）写出S和t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围；
（3）若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F、C、G为顶点的三角形相似？请说明理由．

Answer 1

(1)
当t=1秒时，
AE=CG=2cm
BF=4=BC/2
所以 S=(CG+EB)*BC/2-(BF*BE+CF*CG)/2
=AB*BC/2-AB*BC/4=12*8/4=24 (cm)^2
(2)
当 0<=t<=2时
BF=4t, CF=BC-4t=8-4t
AE=CG=2t
EB=AB-2t=12-2t
S<efg>=S<ebcg>-S<ebf>-S<cfg>
=12*8/2-4t(12-2t)/2-2t(8-4t)/2
=8t^2-32t+48
当 t>2 时，F与G同在CD边上， FG=2t-4(t-2)=8-2t>0
故 t<4
S<efg>=FG*BC/2=(8-2t)*8/2=32-8t
因此
S=8t^2-32t+48 0<=t<=2
S=32-8t 2<t<4

(3)
若以点E、B、F为顶点的三角形与以点F、C、G为顶点的三角形相似，则
CG/BE=CF/BF 或 CG/BF=CF/BE
2t/(12-2t)=(8-4t)/4t 得 t=3/4
2t/4t=(8-4t)/(12-2t) 得 t=2/3

Answer 2

解：（1）如图1，当t=1秒时，AE=2，EB=10，BF=4，FC=4，CG=2）

由S=S梯形GCBE-S△EBF-S△FCG=12×(EB+CG)•BC-
12EB•BF-12FC•CG
=12×（10+2）×8-12×10×4-12×4×2
=24（cm2
（2）①如图1，当0≤t≤2时，点E、F、G分别在边AB、BC、CD上移动，
此时AE=2t，EB=12-2t，BF=4t，FC=8-4t，CG=2t
S=S梯形GCBE-S△EBF-S△FCG
=12×（EB+CG）•BC-12EB•BF-12FC•CG
=12×8×（12-2t+2t）-
124t(12-2t)-12×2t（8-4t）
=8t2-32t+48．----------（4分）
②如图2，当点F追上点G时，4t=2t+8，解得t=4----------（5分）
当2＜t＜4时，点E在边AB上移动，点F、G都在边CD上移动，此时CF=4t-8，CG=2t
FG=CG-CF=2t-（4t-8）=8-2t
S=12FG•BC=12（8-2t）•8=-8t+32．
即S=-8t+32----------（6分）

（3）如图1，当点F在矩形的边BC上的边移动时，0≤t≤2
在△EBF和△FCG中，∠B=∠C=90°
1若EBFC=BFCG，即12-2t8-4t=4t2t，
解得t=23．
又t=23满足0≤t≤2，所以当t=23时，△EBF∽△FCG----------（7分）
2若EBGC=BFCF即12-2t2t=4t8-4t，解得t=32．
又t=32满足0≤t≤2，所以当t=32时，△EBF∽△GCF----------（8分）
综上所述，当t=23或t=32时，以点E、B、F为顶点的三角形与以F、C、G为顶点的三角形相似．

Answer 3

(1)
当t=1秒时，
AE=CG=2cm
BF=4=BC/2
所以 S=(CG+EB)*BC/2-(BF*BE+CF*CG)/2
=AB*BC/2-AB*BC/4=12*8/4=24 (cm)^2
(2)
当 0<=t<=2时
BF=4t, CF=BC-4t=8-4t
AE=CG=2t
EB=AB-2t=12-2t
S<efg>=S<ebcg>-S<ebf>-S<cfg>
=12*8/2-4t(12-2t)/2-2t(8-4t)/2
=8t^2-32t+48
当 t>2 时，F与G同在CD边上， FG=2t-4(t-2)=8-2t>0
故 t<4
S<efg>=FG*BC/2=(8-2t)*8/2=32-8t
因此
S=8t^2-32t+48 0<=t<=2
S=32-8t 2<t<4
(3)
若以点E、B、F为顶点的三角形与以点F、C、G为顶点的三角形相似，则
CG/BE=CF/BF 或 CG/BF=CF/BE
2t/(12-2t)=(8-4t)/4t 得 t=3/4
2t/4t=(8-4t)/(12-2t) 得 t=2/3