Question

过椭圆x^2/4+y^2/2=1上一点p(根号2，1）作倾斜角互补的两条直线，交椭圆于m,n试证明直线mn的斜率为定值。

Answer 1

设M（x1,y1）N（x2,y2）MN：y=kx+b
将MN：y=kx+b带入椭圆方程，得：
（2k^2+1）x^2+4kbx+2b^2-4=0，且x1,x2为方程的两个根
得：
x1+x2=-4kb/（2k^2+1）
x1x2=（2b^2-4）/（2k^2+1）
因直线pm，pn两倾斜角互补，得Kpm=-Kpn
即(y1-1)/(x1-√2）=-（y2-1）/(x2-√2)
将y1=kx1+b，y2=kx2+b带入上式子(kx1+b-1)/(x1-√2）=-（kx2+b-1）/(x2-√2) 得：
2kx1x2+(b-1-√2k)(x1+x2)=2√2(b-1)
将
x1+x2=-4kb/（2k^2+1）
x1x2=（2b^2-4）/（2k^2+1）
带入式子求下k
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计算繁琐，有点乱了，没写结果，请谅解，此类题目解题步骤类似，通过已知条件推出一个两点的横坐标x1，x2，和与积之间的式子，再通过直线方程与圆或者椭圆方程，求成x1，x2和、积与二次方程系数之间的关系，带入得到结果

追问

你这样做求不出k,会发现两等式相同，我知道怎么做了，应通过x1x2与一根，得x1,回代，得y1.再将kpn=-kpm代入得x2,y2.最后算得k=根号2/2，比较难算呵呵。

追答

呵呵 ，这类题大致方法都是这样做的，具体可能不同，是我错了，时间太久了，学了的六年了，忘得差不多了