已知:在△ABC中,AD为∠A的平分线,AD⊥DC于D,∠ACB=3∠B,求证:AB=AC+2CD
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证明：延长CD交AB于E
∵AD平分∠BAC
∴∠BAD＝∠CAD
∵AD⊥DC
∴∠ADE＝∠ADC＝90
∵AD＝AD
∴△ADE≌△ADC （ASA）
∴DE＝CD，AE＝AC，∠AEC＝∠ACE
∴CE＝CD+DE＝2CD
∵∠AEC＝∠B+∠BCE
∴∠ACE＝∠B+∠BCE
∴∠ACB＝∠ACE+∠BCE＝∠B+2∠BCE
∵∠ACB＝3∠B
∴∠B+2∠BCE＝3∠B
∴∠BCE＝∠B
∴BE＝CE＝2CD
∵AB＝AE+BE
∴AB＝AC+2CD
∵AD平分∠BAC
∴∠BAD＝∠CAD
∵AD⊥DC
∴∠ADE＝∠ADC＝90
∵AD＝AD
∴△ADE≌△ADC （ASA）
∴DE＝CD，AE＝AC，∠AEC＝∠ACE
∴CE＝CD+DE＝2CD
∵∠AEC＝∠B+∠BCE
∴∠ACE＝∠B+∠BCE
∴∠ACB＝∠ACE+∠BCE＝∠B+2∠BCE
∵∠ACB＝3∠B
∴∠B+2∠BCE＝3∠B
∴∠BCE＝∠B
∴BE＝CE＝2CD
∵AB＝AE+BE
∴AB＝AC+2CD
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