Question

关于“复合函数的极限运算法则”证明过程的几个疑问(证明过程详见高等数学第五版p48）

证明过程如下：按函数极限的定义，要证：任取ε>0,存在δ>0,使得当0<|x-x0|<δ时，|f[g(x)]-A|<ε成立

由于lim(u→u0)f(u)=A，任取ε>0，都存在η>0,当0<|u-u0|<η时，|f(u)-A|<ε成立——①

又由于lim(x→x0)g(x)=u0,对于上面得到的η>0，存在δ1>0，使得当0<|x-x0|<δ1时，|g(x)-u0|<η成立——②

由假设，当x∈x0的去心邻域时，g(x)≠u0,取δ=min{δ0,δ1},则当0<|x-x0|<δ时，|g(x)-u0|<η及|g(x)-u0|≠0同时成立，即0<|g(x)-u0|<η成立，
从而|f[g(x)]-A|=|f(u)-A|<ε成立。

问题一：②中为什么一定要是“对于上面得到的η>0”？
问题二：最后的“由假设...成立”怎么就推出了后面的“|f[g(x)]-A|=|f(u)-A|<ε成立”？

我数学比较差，希望大家可以解释的详细一点，非常感谢！！！

Answer 1

答：对于问题1：②中为什么一定要是“对于上面得到的η>0”？
高等数学中函数极限的定义都是由 “ε-δ”语言描述的，例如：函数f（x）在x0处的极限定义：任取ε>0,存在δ>0,使得当0<|x-x0|<δ时，有|f(x)-A|<ε成立，则f（x）在x0处的极限为A。
这个定义简单来说：符合“ε-δ”语言，则函数的极限为A
注意：这个定义反过来讲也是对的：如果“f（x）在x0处的极限为A”，那么 “任取ε>0,存在δ>0,使得当0<|x-x0|<δ时，有|f(x)-A|<ε成立”。简单说来，就是函数极限为A，则符合“ε-δ”语言

在“复合函数的极限运算法则”的证明过程中，其实是反复的将这个定义，正的用，反的用。

要证复合函数的极限，就相当去证明这个命题：任取ε>0,存在δ>0,使得当0<|x-x0|<δ时，|f[g(x)]-A|<ε成立；是一个真命题就可以了。
开始证明：

由于lim(u→u0)f(u)=A，任取ε>0，都存在η>0,当0<|u-u0|<η时，|f(u)-A|<ε成立——①

又由于lim(x→x0)g(x)=u0,对于上面得到的η>0，存在δ1>0，使得当0<|x-x0|<δ1时，|g(x)-u0|<η成立——②
这两句话都是将函数极限的定义反着用：函数极限为A，则符合“ε-δ”语言。
在②中出现η它的含义与“ε-δ”语言中的ε都是一样的，都表示无穷小的数，在函数极限的极限定义中也一定要大于0。 同样表示无穷小为什么写不同的字母呢？
原因关键在于：用“ε-δ”语言证明函数的极限时，不同的函数在极限证明中，用到的ε（无穷小）会不相同的。①②中是对不同的函数而言的，因此无穷小需要用不同的字母表示

对于问题（2）“由假设...成立”怎么就推出了后面的“|f[g(x)]-A|=|f(u)-A|<ε成立”？

“由假设...成立”这里的假设就是：复合函数极限运算法则 的前提条件。
准确的我写不出，自己在书上看吧

追问

是不是②中就算不用η，而是用别的什么字母来表示一个无穷小的数也是可以的？

追答

是的，其他自己母也可以