Question

已知:a,b∈正实数,ab-(a+b)=1,求a+b取值范围

Answer 1

这里提供3种做法.....
一、基本不等式的做法：
ab=a+b+1≥2√ab+1=>（√ab）^2-2√ab-1≥0
结合a，b＞0解得：ab≥3+2√2
a+b+1=ab≤[(a+b)/2]^2=>(a+b)^2-4(a+b)-4≥0
结合a，b＞0解得：a+b≥2+2√2

二、韦达定理的做法：
记ab=k＞0，则a+b=k-1＞0（即k＞1）
所以a、b分别为x^2-(k-1)x+k=0的两根
结合f（x）=x^2-(k-1)x+k的图像——f（0）=k＞0，对称轴x=（k-1）/2＞0，开口向上
要使f（x）=0有a、b两根，需使判别式△≥0=>k≥3+2√2=>k-1≥2+2√2
∴ab≥3+2√2，a+b≥2+2√2

三、函数的做法：
先用a来表示b：b=1+2/（a-1），由b＞0得到a＞1
记f（a）=ab=a+2a/（a-1）=a+2/（a-1）+2（分离变量）
设t=a-1，则t＞0，∴f（a）=t+2/t+3
显然f（a）表示成了t的双钩函数且函数图象取右上那一支
∴f（a）∈[3+2√2，+∞]，即ab≥3+2√2
同样，记g（a）=a+b=a+2/（a-1）+1
设t=a-1，则t＞0，∴g（a）=t+2/t+2
显然g（a）表示成了t的双钩函数且函数图象取右上那一支
∴g（a）∈[2+2√2，+∞]，即a+b≥2+2√2