Question

a1=根号2,an+1=根号(2+an),求证数列{an}收敛,并求其极限

Answer 1

结果为：lim an=2

解题过程如下：

利用数学归纳法：a1=√2<2

假设当n=k时，ak<2

则n=k+1时，a(k+1)=√(2*ak)<√(2*2)=2

因此，an<2

再证an单调

a(n+1)-an

=√(2*an)-an

=√an * (√2-√an)

∵an<2

∴a(n+1)-an>0即，an单调递增

由单调有界定理，an收敛，设收敛到a，即有lim an=a

a(n+1)=√(2*an)

同取极限，lim a(n+1)=lim √(2*an)

a=√(2*a)

a=2

∴lim an=2

扩展资料

求数列极限的方法：

设一元实函数f（x）在点x0的某去心邻域内有定义。如果函数f(x)有下列情形之一：

1.函数f(x)在点x0的左右极限都存在但不相等，即f(x0+)≠f(x0-)。

2.函数f(x)在点x0的左右极限中至少有一个不存在。

3.函数f(x)在点x0的左右极限都存在且相等，但不等于f(x0)或者f(x)在点x0无定义。

则函数f(x)在点x0为不连续，而点x0称为函数f(x)的间断点。

Answer 2

先证an有界
猜想an<2
利用数学归纳法：
a1=√2<2
假设当n=k时，ak<2
则n=k+1时，a(k+1)=√(2*ak)<√(2*2)=2
因此，an<2

再证an单调
a(n+1)-an
=√(2*an)-an
=√an * (√2-√an)
因为an<2
因此a(n+1)-an>0
即，an单调递增

由单调有界定理，an收敛，设收敛到a
即有，lim an=a
a(n+1)=√(2*an)
同取极限，
lim a(n+1)=lim √(2*an)
a=√(2*a)
a=2

因此，lim an=2
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