Question

证明：若a1=根号2，an+1=根号（2an），n=1,2，…，则数列{an}收敛，并求其极限。

急

Answer 1

证明：若a1=根号2，an+1=根号（2an），n=1,2，…，则数列{an}收敛，极限是2。

显然an>0 则a(n+1)^2-an=2an-an=an>0 即a(n+1)>an 则an单调递增，下面用数学归纳法证明an有上界即an<2。当n=1时，a1<2显然成立，假设当n=k时，ak<2成立，则当n=k+1时，a(k+1)=√2ak<√4=2 也成立。

作用分析

综上所述，an<2成立，根据数列单调递增且有上界，故数列收敛，则lima(n+1)=liman，则lima(n+1)=lim√2an=liman 解得liman=2，故其极限为2。

再由 a1<2(2a1)>a1^2a2>a1，其中由此通过数学归纳法得到an递增，即数列单调。则由单调有界原理，数列收敛。要求极限请追问。

Answer 2

解：显然an>0 则a(n+1)^2-an=2an-an=an>0 即a(n+1)>an 则an单调递增
下面用数学归纳法证明an有上界即an<2
当n=1时，a1<2显然成立
假设当n=k时，ak<2成立
则当n=k+1时，a(k+1)=√2ak<√4=2 也成立
综上所述，an<2成立
根据数列单调递增且有上界，
故数列收敛
则lima(n+1)=liman
则lima(n+1)=lim√2an=liman 解得liman=2
故其极限为2

Answer 3

收敛？