Question

绝对高手来 证明(1/n)^n+(2/n)^n+……+((n-1)/n)^n+(n/n)^n<e/(e-1) ....

请别复制别人的我要问怎么想的 怎么想到 放缩方法的 不等式右边那个式子看不出来怎么弄 怎么会想到等比
有没有多种方法

Answer 1

像这种有关e的不等式，如果要证明，必须得通过已有的结论作为铺垫。否则，通过传统的不等式，肯定证不出来。
因为传统不等式，比如a² + b² ≥ 2ab这类，几乎无法通过正整数的放缩，变成e这个常数。

因此，有关e的已有结论，最常见的就是以下2个
① x ≥ lnx + 1 (x ≥ 1)
② e^x ≥ x + 1
本题显然跟”指数“的关系较大，跟”对数“关系稍小。于是便考虑利用不等式②。

然后
(1/n)^n = (1 + (1 - n)/n)^n < e^(1-n)
(2/n)^n = (1 + (2 - n)/n)^n < e^(2-n)
....
相信你已经知道证明过程了

这种与e有关的不等式，大多都需要我提到的2个结论，要不然无从下手。
至于放缩方法，则是例如
1/n = 1 + (1 - n)/n
这种”代数式变换“，这算是基本功。这种变换，其实也是往不等式②上面靠，凑成1+x的形式。
然后利用已有结论，便自然而然的放缩成了等比数列。
也就是说，本题中的”等比数列“不是想出来的，而是放缩之后自然成型的。

有不明白的可以继续提问。O(∩_∩)O

追问

谢谢 很厉害 第一个不等式我很熟悉 今年湖南数学奥赛初赛倒数第二题 我做着做着就推导出了第二个公式 然后 解决了那个题 没想到这么有用

Answer 2

首先(1+1/x)^(x+1)>e（单调减极限是e）即e*x^(x+1)<(x+1)^(x+1)
下用数学归纳法证明
如果命题对n成立（原式等价于1^n+2^n+…+n^n<e/(e-1)*n^n)
则1^(n+1)+2^(n+1)+…+n^(n+1)+(n+1)^(n+1)
<=n*(1^n+2^n+…+n^n)+(n+1)^(n+1)
<=n*e/(e-1)*n^n+(n+1)^(n+1)
<=e/(e-1)*n^(n+1)+(n+1)^(n+1)
<=1/(e-1)*(n+1)^(n+1)+(n+1)^(n+1)
=e/(e-1)*(n+1)^(n+1)

追问

怎么想到的

追答

归纳不难想吧，没有使用任何技巧，不是要多种方法吗，不能直接放缩又不能归纳那就没法做了，总不能用定积分吧