Question

若x、y为正实数，且x＋y=4，求根号下x的²＋1＋根号下y²＋4的最小值

Answer 1

方法一：
引入两个复数：z1＝x＋i，z2＝y＋2i。
∴｜z1｜＝√（x^2＋1）、｜z2｜＝√（y^2＋4）。
又｜z1｜＋｜z2｜≧｜z1＋z2｜＝｜x＋i＋y＋2i｜＝｜4＋3i｜＝√（4^2＋3^2）＝5。
∴√（x^2＋1）＋√（y^2＋4）的最小值是5。

方法二：
作矩形ABCD，使AB＝4、BC＝1，延长CB至E，使BE＝2。
在AB上取一点F，使AF＝x、BF＝y。
由勾股定理，有：
DF＝√（AF^2＋AD^2）＝√（x^2＋1）、EF＝√（BF^2＋BE^2）＝√（y^2＋4）。
显然有：DF＋EF≧DE＝√（CD^2＋CE^2）＝√（4^2＋3^2）＝5。
∴√（x^2＋1）＋√（y^2＋4）的最小值是5。