Question

求微分方程（x-1)dy-(1+y)dx=0满足初始条件y(0)=1的特解

解法1：分离变量，dy/(1＋y)＝dx/(x－1)
两边积分，ln(1＋y)＝ln(x－1)＋lnC
所以，方程的通解是y＝C(x－1)－1
由y(0)＝1得C＝－2，所以，所求特解是y＝－2(x－1)－1＝1－2x
解法2：(x-1)dy-(1+y)dx=0
--->dy/(y+1)=dx/(x-1)
两边分别积分得 ln|y+1|=ln|x-1|+lnC
--->ln|y+1|=ln[C(x-1)|
--->|y+1|=C|x-1|
把x=0，y=1代入得 C=1.所以|y+1|=|x-1|
--->y+1=+'-(x-1)
--->y=x-2 or y=-x.
所以满足特解y(0)=1的特解是y=x-2, y=-x.
很郁闷这两个哪个对啊？？观察了下就是在 加不加绝对值上出现问题 ？谢谢大家

Answer 1

要先去绝对值，再确定C。因为去绝对值时可能会产生增根。
你的y=x-2明显不满足初始条件。

追问

谢谢你的如往常的精彩回答
question：刚学到微分方程这节，遇到好多在求---例如 ∫1/f(x)dx=lnf(x)+c 有时加绝对值，有时不加绝对值。不明白，能说明下什么时候，加绝对值，什么时候不加吗？ 谢谢 simle 2000

追答

原本应该是加绝对值的，不过你可以不加绝对值试一下，只要最后结果将对数符号去掉，其实加与不加算出的结果是一样的。正因为如此，所以很多参考书，包括很多老师，也包括那些专门研究微分方程的老师，他都是不加绝对值的。而且不加绝对值有时计算量会小很多，因此建议你以后不用加绝对值。这算是个不成文的约定吧。