Question

已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边

已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB,DC（或它们的延长线）于点M,N．
当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时（如图14），易证BM+DN=MN．
（1）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，线段BM,ND和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．

　　（2）当∠MAN绕点A旋转到如图16的位置时，线段BM,ND和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．并加以证明．

Answer 1

1）线段BM、DN和MN之间又有怎样得数量关系是：
BM+DN＝MN
如图，延长CB到E，使BE=DN，连接AE
∵AB=AD,∠ABE=∠D=90°
∴△ABE≌△AND
∴AE=AN, ∠BAE=∠NAD
∵∠BAM+∠NAD=45°
∴∠BAM+∠BAE =45°
即∠EAM=∠MAN =45°
∴△AEM≌△ANM
所以ME＝MN
因为ME＝BE+BM＝DN+BM
所以DN+BM＝MN

2、在DN上截取DE=BM，连接AE；
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABM=∠D=90°，AB=AD，
又∵DE=BM，
∴Rt△ABM≌Rt△ADE，
∴AM=AE，∠BAM=∠DAE；
∵∠MAN=45°，
∴∠DAE+∠BAN=∠MAB+∠BAN=∠MAN=45°，
∴∠EAN=90°-（∠DAE+∠BAN）=45°，又∠MAN=45°，
∴∠EAN=∠MAN=45°，
又∵AM=AE，AN=AN，
∴△AMN≌△AEN，得MN=EN，
∴DN=DE+EN=BM+MN，即MN=DN-BM．