Question

如图所示，在直角梯形ABCD中，AD平行BC，AB⊥BC，AD=5,AB=4,BC=8,

如图所示，在直角梯形ABCD中，AD平行BC，AB⊥BC，AD=5,AB=4,BC=8,点P以每秒1个单位的速度从A向D运动，同时点Q以相同速度从C向B运动,设运动时间为t秒。

1、当t=3时，（1）△BPQ是_________三角形；
（2）求△BPQ的高BH(H是垂足）的长
2、当t为多少时，△BPQ是以BP为腰的等腰三角形？

Answer 1

1、当t=3时，（1）△BPQ是____三角形；2）求△BPQ的高BH(H是垂足）的长
解：1) 过P点作PE垂直BC与E点
由题意可知AP=3，CQ=3 BQ=BC-CQ
又∵AB=4， AB⊥BC BC=8
∴BQ=BC-CQ=8-3=5
在Rt△APB中BP²=AP²+AB²=3²+4²
BP=5
∴BP=BQ=5
又 ∵四边形ABCD为直角梯形，AB⊥BC PE⊥BC
∴四边形ABEP为矩形
∴AP=BE=3 AB=PE=4
又 ∵EP=BQ-BE BQ=5
∴EQ=5-3=2
在Rt△PEQ中PQ²=PE²+EQ²=4²+2²
PQ=2√5
∴BP=BQ≠PQ
∴△BPQ是等腰三角形

2) S△BPQ=1/2BQ*PE=1/2PQ*BH
即 BQ*PE=PQ*BH
5×4=2√5×BH
BH=2√5

2、当t为多少时，△BPQ是以BP为腰的等腰三角形？
分析：以BP为腰，要么BP=BQ,要么BP=PQ,此题用直角坐标系两点间的距离公式比较好求，但要注意t的取值，t≤5
解 设P(t,4) B(0,0) Q(8-t,0)
则PQ²=(8-t-t)²+4²=4t²-32t+80
BQ²=（8-t)²+0=t²-16t+64
BP²=t²+4²=t²+16
∵BP=BQ
∴BP²=BQ²
即 t²+16=t²-16t+64
解之得t=3
∵BP=PQ
∴BP²=PQ²
即t²+16=4t²-32t+80
解之得t=8/3或t=8(t=8不符合题意，舍去）
即当t=3或t=8/3时，△BPQ是以BP为腰的等腰三角形

Answer 2

1、当t=3时，（1）△BPQ是____三角形；2）求△BPQ的高BH(H是垂足）的长
解：1) 过P点作PE垂直BC与E点
由题意可知AP=3，CQ=3 BQ=BC-CQ
又∵AB=4， AB⊥BC BC=8
∴BQ=BC-CQ=8-3=5
在Rt△APB中BP²=AP²+AB²=3²+4²
BP=5
∴BP=BQ=5
又 ∵四边形ABCD为直角梯形，AB⊥BC PE⊥BC
∴四边形ABEP为矩形
∴AP=BE=3 AB=PE=4
又 ∵EP=BQ-BE BQ=5
∴EQ=5-3=2
在Rt△PEQ中PQ²=PE²+EQ²=4²+2²
PQ=2√5
∴BP=BQ≠PQ
∴△BPQ是等腰三角形

2) S△BPQ=1/2BQ*PE=1/2PQ*BH
即 BQ*PE=PQ*BH
5×4=2√5×BH
BH=2√5