Question

已知函数f(x)在R上为减函数且为奇函数,若对任意的t∈R，···

已知函数f(x)在R上为减函数且为奇函数,若对任意的t∈R，不等式f(t²-2t)+f(2t²-k)<0恒成立,求k的取值范围.
请写出过程，谢谢。

Answer 1

f(t²-2t)+f(2t²-k)<0
f(t²-2t)<-f(2t²-k)
因为f(x)是奇函数，
所以：-f(2t²-k)=f(k-2t²)
所以，
f(t²-2t)<f(k-2t²)
因为f(x)是减函数，
所以：t²-2t>k-2t²
k<3t²-2t
对t属于R恒成立
3t²-2t=3(t-1/3)²-1/3，最小值为-1/3
所以，k<-1/3

祝你开心！希望能帮到你，如果不懂，请Hi我，祝学习进步！

Answer 2

解：因为是在R上的奇函数
所以f（0）=0 f(-x)=-f(x)
不等式f(t²-2t)+f(2t²-k)<0恒成立
所以 f(t²-2t）<—f(2t²-k）恒成立
同时—f(2t²-k）=f(k-2t²)
即f(t²-2t)<f(k-2t²)
又f(x)为R上减函数，
所以t²-2t>k-2t²
k<3t²-2t
k<3(t²-2／3t)
k<3[(t-1／3)²-1／9]
k<3(t-1／3)²-1／3

所以，t=1／3有最小值，最小值-1／3
即k<-1／3

Answer 3

f(t²－2t)<－f(2t²－k) 【f(x)是奇函数，则：f(－x)=－f(x)】
f(t²－2t)<f(k－2t²) 【函数f(x)是减函数】
t²－2t>k－2t²
k<3t²－2t
则：k<3t²－2t的最小值，而3t²－2t的最小值是－1/3，则：
k<－1/3

Answer 4

t=1/3有最小值 k小于-1/3