Question

如图,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,且BE=CF,求证:（1）∠B=∠C； （2）AD⊥BC

Answer 1

∠BAD=∠DAC，∠AED=∠AFD=90°，AD是三角形EAD和三角形FAD公共边
所以三角形EAD和三角形FAD全等
得到AE=AF
又因为BE=CF
所以∠B=∠C
而等腰三角形顶角的角平方线也是底边的垂线，所以AD⊥BC

Answer 2

1）因为AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,
所以DE=DF（角平分线上的点到角的两边距离相等）
又因为BE=CF，且DE⊥AB于E,DF⊥AC于F
所以△BDE≌△CDF（S.A.S）
所以∠B=∠C（全等三角形对应角相等）
2）由1）得∠B=∠C
所以AB=BC
所以△ABC是等腰三角形，BC为底边（等腰三角形判定定理）
又因为AD是△ABC的角平分线
所以AD⊥BC（等腰三角形三线合一）