Question

在△ABC中,已知∠ABC=90°,AB上一点E,以BE为直径的圆O恰与BC相切于点D,若AE=2cm,AD=4cm,计算△ABC的面积

求解、、、不要用相似三角形证，可以吗？要过程

Answer 1

解：AD是元O的切线，AE是圆O的割线
所以：AD^2=AE*AB
即： 4^2=2*AB，解得：AB=8，得：EB=6，OE=OB=3.
又因为CD、CB都是圆O 在圆外同一点在圆上的切线，若从点C向圆内作割线CMN
则CD^2=CB^2=CM*CN, 所以CD=CB
在直角三角形ABC中，AB^2+BC^2=AC^2
设BC=CD=X
则：8^2+X^2=(4+X)^2
整理得：64=16+8X
解得：BC=CD=X=6
三角形ABC面积=AB*BC/2=8*6/2=24

附注：
推论：圆外一点向圆上作两条切线，那么这两条切线相等。
这个推论你肯定学过了。所以大可不必在图上作那个CMN割线，直接得出BC=CD。只是怕你忘了这个知识点。

Answer 2

连接OD，因为与BC相切于点D，所以∠ADO=90°
设圆的半径为r；
用勾股定理：AD²+OD²=AO²
4²+r²=(2+r)²
r=3
得出OD=3，AO=5；AB=AO+OB=8
因为∠ADO=∠ABC=90°；∠A是公共角；
所以△ABC≈△ADO
即AD/AB=OD/BC
4/8=3/BC
BC=6
所以△ABC的面积S=1/2×AB×BC=1/2×8×6=24cm²