Question

1^2+2^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6这个如何证明

Answer 1

虽然数学归纳法可以证明，但绝不推荐，谁会去罗列那么些麻烦呢
可以用待定系数法得出：
一般地，像这种一直到N的累计求和都可以这样做
二次方的累计求和可以设为：S(n) = An³ + Bn² + Cn + D （最高次方为3） ①
然后用几个简单的特例确定A、B、C系数就可以
例如
当 n = 1时，S(n=1) = A*1³ + B*1² + C*1 + D = 1²
当 n = 2时，S(n=2) = A*2³ + B*2² + C*2 + D = 1² + 2²
当 n = 3时，S(n=3) = A*3³ + B*3² + C*3 + D = 1² + 2² + 3²
最后经过繁琐的计算得到：A = 1/3；B = 1/2； C = 1/6；D ＝0
所以①式就是 S(n) =n³/3 + n²/2 + n/6 ，最后你整理一下就可以了。

总结：
这种方法的优点是，适合于次方不大的很多累计求和
1. 式①对于1 + 2 + 3 + …… + n；可以设为 S(n) = An² + Bn + C （最高次方为2）
2. 式①对于1³ + 2³ + 3³ + …… + n³；可以设为 S(n) = An⁴+ Bn³ + Cn² + Dn + E （最高次方为4）
3. 列举一部分方便你记忆：
1 + 2 + 3 + …… + n ＝n(n+1)/2
1² + 2² + 3² + …… + n² ＝n(n+1)(2n+1)/6
1³ + 2³ + 3³ + …… + n³ ＝[n(n+1)/2]² ---------正好是第一个的平方
1⁴+ 2⁴+ 3⁴+ …… + n⁴＝n(n+1)(2n+1)(3n² +3n-1) / 30
1^5 + 2^5 + 3^5 + …… + n^5 ＝n² (n+1)² (2n² +2n-1) / 12
1^6+ 2^6 + 3^6 + …… + n^6 ＝n(n+1)(2n+1)(3n⁴+ 6n³ - 3n + 1) / 42
1^7+ 2^7 + 3^7 + …… + n^7 ＝n² (n+1)² (3n⁴+ 6n³ - n² - 4n + 2) / 24
1^8+ 2^8 + 3^8 + …… + n^8 ＝n(n+1)(2n+1)(5n^6 + 15n^5 + 5n⁴- 15n³ - n² + 9n - 3) / 90
1^9+ 2^9 + 3^9 + …… + n^9 ＝n²n+1)² (n² + n - 1)(2n⁴+ 4n³ - n² - 3n + 3) / 20
……