Question

已知函数f(x)=e^(x-k) -x,其中X∈R

已知函数f(x)=e^(x-k) -x,其中X∈R 1．当k＝0时，若g（x）＝1／｛f（x） ＋m｝定义域为R，求M的取值范围． 2．给出定理:若函数f(x)在区间[a,b]上连 续，且f（a）*f（b）＜0，则函数y＝f （x）在区间（a，b）内有零点，即存 在X0∈（a，b），使f（x0）＝0，运用 此定理，试判断当k＞1时，函数f（x） 在〔k，2k〕内是否存在零点．

Answer 1

已知函数f(x)=e^(x-k) -x,其中X∈R
1.当k=0时,若g(x)=1/[f(x)+m]定义域为R,求m的取值范围.
k=0
f(x)=e^(x-0)-x=e^x-x
g(x)=1/(e^x-x+m)
令h(x)=e^x-x+m
h’(x)=e^x-1=0
e^x=1 x=0
h’’(x)=e^x>0
h(0)为最小值
h(0)=e^0-0+m=1+m>0
m>-1
e^x-x+m≠0
定义域为R

2.给出定理:若函数f(x)在区间[a,b]上连续,且f(a)*f(b)<0,则函数
y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在x0∈(a,b),使f(x0)=0,运用
此定理,试判断当k>1时,函数f(x)在[k,2k]内是否存在零点.

f(x)=e^(x-k)-x
f(k)=e^(k-k)-k=1-k<0
f(2k)=e^(2k-k)-2k=e^k-2k
f(k)f(2k)=(1-k)(e^k-2k)

令h(k)=e^k-2k
h’(k)=e^k-2=0
k=ln2
h’’(k)=e^k>0
h(ln2)=e^ln2-2ln2=2-2ln2>0
h(k)=e^k-2k>0
f(k)f(2k)=(1-k)(e^k-2k)<0
存在零点.