Question

若f(x)的极限为A,求证f(x)的绝对值极限为A的绝对值，反之不成立

Answer 1

若A>0，用极限的定义可知 | f（x）|也满足他对极限的定义于是f(x)的绝对值极限为A，当A<0时证法相同。

极限思想的完善，与微积分的严格化的密切联系。在很长一段时间里，微积分理论基础的问题，许多人都曾尝试“彻底满意”地解决，但都未能如愿以偿。

这是因为数学的研究对象已从常量扩展到变量，而人们习惯于用不变化的常量去思维，分析问题。对“变量”特有的概念理解还不十分清楚。

对“变量数学”和“常量数学”的区别和联系还缺乏了解；对“有限”和“无限”的对立统一关系还不明确。

曲线形与直线形图像有着本质的差异，但在一定条件下也可相互转化，正如恩格斯所说：“直线和曲线在微分中终于等同起来了”。善于利用这种对立统一关系，是处理数学问题的重要手段之一。用直线构成的图形的面积易求。

但是求曲线组成的图形的面积，用初等数学是不能准确地解决的。古人刘徽用“”圆内接多边形逼近圆面积”；人们用“变形为矩形的面积”来逼近曲边梯形的面积，等等，都是借助于极限的思想方法，从直线形来起步认识曲线形问题的解答。

Answer 2

若A>0 用极限的定义可知 | f（x）|也满足他对极限的定义于是f(x)的绝对值极限为A，当A<0时证法相同。
命题反正则不成立的关键在于，很显然的是f（x）的极限可以是-A , 因为你比如说用A代入举个例子，该命题成立，那么我用-A代入上述例子，那么f（x）的极限就是-A 于是举得反例，所以反过来是不成立的。

Answer 3

1. 不管x趋于多少，按照极限的定义，将不等式 ||f(x)|-|A||《|f(x)-A| <ε.用于极限的证明中就行。

2.f(x)=-1, |f(x)|=1, |f(x)|趋于1，但f(x)趋于-1