Question

用极限定义证明lim(x趋近于2)x^2=4

Answer 1

证明方法如下：

根据题意x趋近于2

可以确定x的范围，在1<x<3

也就是|x+2|<5

可以对任意的ε>0，即δ=min{ε/5,1}

当0<|x-2|<δ

|x²-2²|=|x+2||x-2|<5|x-2|<ε成立成立

所以lim(x趋近于2)x^2=4

极限函数的意义：

在区间(a-ε，a+ε)之外至多只有N个（有限个）点；所有其他的点xN+1，xN+2，...（无限个）都落在该邻域之内。这两个条件缺一不可，如果一个数列能达到这两个要求，则数列收敛于a；而如果一个数列收敛于a，则这两个条件都能满足。

换句话说，如果只知道区间(a-ε，a+ε)之内有{xn}的无数项，不能保证(a-ε，a+ε)之外只有有限项，是无法得出{xn}收敛于a的，在做判断题的时候尤其要注意这一点。

Answer 2

利用定义证明。

证明：首先，限定1<x<3，|x+2|<5

对任意的ε>0，取δ=min{ε/5，1}

则当0<|x-2|<δ，时，有

|x²-2²|=|x+2||x-2|<5|x-2|<ε

成立。所以lim(x趋近于2)x^2=4

极限的求法有很多种：

1、连续初等函数，在定义域范围内求极限，可以将该点直接代入得极限值，因为连续函数的极限值就等于在该点的函数值

2、利用恒等变形消去零因子（针对于0/0型）

3、利用无穷大与无穷小的关系求极限

4、利用无穷小的性质求极限

5、利用等价无穷小替换求极限，可以将原式化简计算

6、利用两个极限存在准则，求极限，有的题目也可以考虑用放大缩小，再用夹逼定理的方法求极限

Answer 3

证明：首先，限定1<x<3，|x+2|<5

对任意的ε>0，取δ=min{ε/5，1}

则当0<|x-2|<δ，时，有

|x²-2²|=|x+2||x-2|<5|x-2|<ε

成立。所以lim（x趋近于2）x^2=4

N的相应性　

一般来说，N随ε的变小而变大，因此常把N写作N(ε)，以强调N对ε的变化而变化的依赖性。但这并不意味着N是由ε唯一确定的：（比如若n>N使|xn-a|<ε成立，那么显然n>N+1、n>2N等也使|xn-a|<ε成立）。重要的是N的存在性，而不在于其值的大小。

因为ε是任意小的正数，所以ε/2 、3ε 、ε2等也都在任意小的正数范围，因此可用它们的数值近似代替ε。同时，正由于ε是任意小的正数，我们可以限定ε小于一个某一个确定的正数。

Answer 4

方法一
lim(x-->2) (x^2 - 4) = lim(x-->2) (x 2)*(x-2)
因为x 2和x-2在x-->2连续，所以lim(x-->2) (x 2)*(x-2) = lim(x-->2) (x 2)* lim(x-->2) (x-2) = (2 2)*(2-2) = 0
所以lim(x-->2) (x^2 - 4) = 0
即当x趋近于2时，x^2的极限等于4
方法二
证明：首先，限定1<x<3,|x 2|<5.
对任意的ε>0,取δ=min{ε/5,1}
则当0<|x-2|<δ,时，有
|x²-2²|=|x 2||x-2|<5|x-2|<ε
成立。所以lim(x趋近于2)x^2=4

Answer 5

证明：首先，限定1<x<3,|x+2|<5.
对任意的ε>0,取δ=min{ε/5,1}
则当0<|x-2|<δ,时，有
|x²-2²|=|x+2||x-2|<5|x-2|<ε
成立。所以lim(x趋近于2)x^2=4