Question

二阶微分方程 求一般表达式

yy′′− 2yy′ ln y − (y′)2 = 0
完全没有想法啊
上面写错了,是 y*y′′− 2y*(y′)* ln y − (y′)^2 = 0

Answer 1

这种缺少x的方程解法是化为y的微分方程：
p=y'
y"=dp/dx=dp/dy*dy/dx=pdp/dy
方程化为：y pdp/dy-2yplny-p^2=0
即ydp/dy-2ylny-p=0
dp/dy-p/y=2lny
这就化成了一阶微分方程了，可用公式解法：
∫-1/y dy=-lny ,
∫2lny*e^(-lny)dy=2∫lny*1/y dy=2∫lny d(lny)=(lny)^2
所以解为p=[(lny)^2+C]e^(lny)=[(lny)^2+C]y
即dy/[lny)^2+C]y=dx
即d(lny)/[(lny)^2+C]=dx，
两边积分，根据c的符号得：
c>0时，有1/√c*arctan(lny/√c)=x+c2
c=0时，有-1/lny=x+c2
c<0时，有1/2√(-c)*ln[ |lny-√(-c)|/|lny+√(-c)|]=x+c2