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如图所示,在△ABC中,AB=AC,D是BC边上一点,DE⊥AC于点E,DF⊥AB于点F,且AE=AF.试说明:
4个回答
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郭敦顒回答:
∵AE=AF,连EF,取EF中点G,作AD′=AD,且AD′⊥EF于G,
过D′作B′C′∥EF,分别交AF与AE延长线于B′与C′,则
AB′=AC′。
又DE⊥AC于点E,DF⊥AB于点F,
∴在Rt⊿AFD与Rt⊿AED中cos∠FAD=AF/AD=AE/AD=cos∠EAD,
∴∠FAD=∠EAD,∠FAD+∠EAD=∠A,
A
F G E
B C
B′ D D′ C′
又∵在等腰△AFE中∠FAG=∠EAG,∠FAG+∠EAG=∠A,
∴∠FAG=∠FAD,∠EAG=∠EAD,
但∠FAG=∠FAD′,∠EAG=∠EAD′,同角相等,
∴∠FAD与∠FAD′,∠EAD=∠EAD′分别为同角,
∴D′与D重合,B′C′与BC重合,B′与B,C与C′分别重合。
∴AD⊥BC,
∴Rt⊿ABD≌Rt⊿ACD,(两角夹一边对应相等),
∴BD=CD。
∵AE=AF,连EF,取EF中点G,作AD′=AD,且AD′⊥EF于G,
过D′作B′C′∥EF,分别交AF与AE延长线于B′与C′,则
AB′=AC′。
又DE⊥AC于点E,DF⊥AB于点F,
∴在Rt⊿AFD与Rt⊿AED中cos∠FAD=AF/AD=AE/AD=cos∠EAD,
∴∠FAD=∠EAD,∠FAD+∠EAD=∠A,
A
F G E
B C
B′ D D′ C′
又∵在等腰△AFE中∠FAG=∠EAG,∠FAG+∠EAG=∠A,
∴∠FAG=∠FAD,∠EAG=∠EAD,
但∠FAG=∠FAD′,∠EAG=∠EAD′,同角相等,
∴∠FAD与∠FAD′,∠EAD=∠EAD′分别为同角,
∴D′与D重合,B′C′与BC重合,B′与B,C与C′分别重合。
∴AD⊥BC,
∴Rt⊿ABD≌Rt⊿ACD,(两角夹一边对应相等),
∴BD=CD。
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证明:
(1)∵AB=AC
∴∠B=∠C
∵DE⊥AC,DF⊥AB
∴∠BFD=∠CED=90°
∵DE=DF
∴△BDF≌△CDE
∴BD=CD
(2)
∵BD=CD,AB=AC
∴AD⊥BC(等腰三角形三线合一)
(1)∵AB=AC
∴∠B=∠C
∵DE⊥AC,DF⊥AB
∴∠BFD=∠CED=90°
∵DE=DF
∴△BDF≌△CDE
∴BD=CD
(2)
∵BD=CD,AB=AC
∴AD⊥BC(等腰三角形三线合一)
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2012-10-15
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证明:
∵DE⊥AC,DF⊥AB
∴∠DFB=∠DEC=90
∵AB=AC
∴∠B=∠C
∵BF=AB-AF,CE=AC-AE,AE=AF
∴BF=CE
∴△BFD≌△CED (ASA)
∴BD=CD
∵AD=AD
∴△ABD≌△ACD (SSS)
∴∠ADB=∠ADC
∵∠ADB+∠ADC=180
∴∠ADB=∠ADC=90
∴AD⊥BC
∵DE⊥AC,DF⊥AB
∴∠DFB=∠DEC=90
∵AB=AC
∴∠B=∠C
∵BF=AB-AF,CE=AC-AE,AE=AF
∴BF=CE
∴△BFD≌△CED (ASA)
∴BD=CD
∵AD=AD
∴△ABD≌△ACD (SSS)
∴∠ADB=∠ADC
∵∠ADB+∠ADC=180
∴∠ADB=∠ADC=90
∴AD⊥BC
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AB=AC AE=AF DE⊥AC DF⊥AB △BED=△CFD 所以BD=CD
D为等腰三角形底边中点 所以AD⊥BC
D为等腰三角形底边中点 所以AD⊥BC
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