Question

如图1，抛物线y=ax2+bx+3经过点A（-3，0），B（-1，0）两点， （1）求抛物线的解析式； （2）设抛物线的

如图1，抛物线y=ax2+bx+3经过点A（-3，0），B（-1，0）两点，
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为M，直线y=-2x+9与y轴交于点C，与直线OM交于点D，现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上，若平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围；
（3）如图2，将抛物线平移，当顶点至原点时，过Q（0，3）作不平行于x轴的直线交抛物线于E、F两点，问在y轴的负半轴上是否存在一点P，使△PEF的内心在y轴上？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

解 1 A（-3，0），B（-1，0） 带入解析式的
9a- 3b +3=0
a-b+3=0 解得　a=1 b=4
y=x²+4x+3
2 直线y=-2x+9与y轴交于点C C(0,9)
抛物线的顶点为M M(-2,-1)
OM直线方程　：y=x/2
OM与CD的交点D的坐标为(18/5,9/5)
抛物线平移后的顶点在OD上　可设　顶点坐标(a,a/2)
所以y=x²+4x+3=(x+2)²-1平移后的坐标方程 y=(x+2-a)²-1+a/2
平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点 y=-2x+9 连接方程组得
(x+2-a)²-1+a/2 =-2x+9只有一个公共点　　化简后　判别式△=0 可以解出a值
　　带入抛物线　即在解方程组即可求出　交点坐标
(因为交点是在射线OD上　看所求出来的坐标是否满足要求）
3 将抛物线平移，当顶点至原点 y=x²
过Q（0，3）的直线　可设方程为y=ax+3
假设存在点P 设三角形△PEF　的内心为G(0.b) 《在y轴上》
　内心到EF的距离d=(b+3)/√(a²+9)
有两个交点E,F 解方程组 y=x²=ax+3
x²-ax-3=0 (x-a/2)²-(a²/4)-3=0 (x-a/2)²=(a²/4)+3 解得X1=a/2+√<(a²)/4+3> =(a+√<a²+12>)/2
X2=a/2-√<(a²)/4+3> =(a-√<a²+12>)/2
带入y=ax+3　分别可得出E F 的坐标　是用a表示的式子
设p坐标（0.c）
内心G到直线FP EP 的距离可以分别用a b c 的式子表示　
内心到三条边的距离都相等　联立方程组　即可求出 a b c