Question

如图、矩形ABCD中、点E在CB的延长线上、使CE=AC、连接AE点F是AE的中点、连结BF、DF、求证：BF垂直DF

Answer 1

证明：连接CF
∵CE＝AC，F是AE的中点
∴CF⊥AE （三线合一）
∴∠AFC＝90
∴∠AFD+∠CFD＝90
∵矩形ABCD
∴AD＝BC，∠ABE＝∠BAD＝∠ABC＝90
∴AF＝BF＝CF （直角三角形中线特性）
∴∠ABF＝∠BAF
∵∠FAD＝∠BAD+∠BAF，∠FBC＝∠ABC+∠ABF
∴∠FAD＝∠FBC
∴△AFD≌△BFC （SAS）
∴∠BFC＝∠AFD
∴∠BFD＝∠BFC+∠CFD＝∠AFD+∠CFD＝90
∴BF⊥DF

Answer 2

证明:∵ce=ac,∴△ace是等腰三角形.点f是ae的中点,故
cf⊥ae.
又bf是rt△abe的斜边ae上的中线,∴bf=af,于是∠fab
=∠fba,从而∠fbc=∠fba+90°=∠fab+90°=∠fad,
又cb=ad,∴△cbf≌△daf,∴∠bfc=∠afd.
而∠afd+∠dfc=∠afc=90°.
∴∠bfc+∠dfc=∠bfd=90°.
即bf⊥df.

Answer 3

连接CF
∵CE＝AC，F是AE的中点
∴CF⊥AE
∴∠AFC＝90
∴∠AFD+∠CFD＝90
∵矩形ABCD
∴AD＝BC，∠ABE＝∠BAD＝∠ABC＝90°
∴AF＝BF＝EF
∴∠ABF＝∠BAF
∵∠FAD＝∠BAD+∠BAF，∠FBC＝∠ABC+∠ABF
∴∠FAD＝∠FBC
∴△AFD≌△BFC
∴∠BFC＝∠AFD
∴∠BFD＝∠BFC+∠CFD＝∠AFD+∠CFD＝90
∴BF⊥DF