Question

若函数y=2^-x²+ax-1次方在区间(-∞,3)上单调递增,则实数a的取值范围是

Answer 1

解：指数函数y=2^x在(-∞，+∞)上单调递增
因为函数y=2^(-x²+ax-1)次方在区间(-∞,3)上单调递增
所以函数y=-x²+ax-1在区间(-∞,3)上单调递增
此一元二次函数图象的开口向下，对称轴是x=a/2
则：a/2>=3, 解得：a>=6
所以实数a的取值范围是a>=6

Answer 2

令f(x)=2^x，g(x)=-x²+ax-1，则y=f[g(x)]
显然f[g(x)]是由指数函数f(x)与二次函数g(x)复合而成
根据复合原理：f(x)与g(x)单调性相同时，f[g(x)]将递增
而f(x)在R都是递增，g(x)则单调性不确定，但开口是明确的，在R上呈现先增后减
由此可见g(x)必须在区间上递增，才能保证f[g(x)]在区间上递增
于是问题就转化为：若g(x)=-x²+ax-1在区间(-∞,3)上单调递增，确定a

因g(x)开口向下，对称轴x=a/2
显然只有对称轴在区间(-∞,3)的右侧时，才能确保g(x)在区间(-∞,3)上递增
即有a/2>=3
解得a>=6