Question

如何用特殊值法 分解因式x^3+9x^2+23x+15

将2或10代入x，求出数p，将数p分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。
例如在分解x^3+9x^2+23x+15时，令x=2，则
x^3 +9x^2+23x+15=8+36+46+15=105，
将105分解成3个质因数的积，即105=3×5×7 ．
注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值，
则x^3+9x^2+23x+15可能等于(x+1)(x+3)(x+5)，验证后的确如此。
如果最高项次数不是1怎么办？如果带入10，则出现结果为2143=3*5*11*13，结果是何值呢？谢谢啦！

Answer 1

注意到多项式中最高项的系数为1，在x=2时的值，3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，

如果带入10，则出现结果为2143=15*11*13，结果是何值呢？
在x=10时的值11 13、15 。（注：最高项为3次方，分解成3个数） 分别为x+1，x+3，x+5，则x^3+9x^2+23x+15可能等于(x+1)(x+3)(x+5)，验证后的确如此。

如果最高项次数不是1怎么办？例如： 2x^3+x^2-2x-1
将2代入x ，16+4-4-1=15=3×5 ×1（最高项为3次方，分解成3个数）
在x=2时的值，1、3、5、分别为x-1，x+1，2x+1（最高项次数出现在x前面）
2x^3+x^2-2x-1=（x-1）（x+1）（2x+1）

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追问

谢谢！
在x=10时的值11 13、15 。分别为x+1，x+3，x+5，则x^3+9x^2+23x+15可能等于(x+1)(x+3)(x+5)，验证后的确如此。

为何是11 13 15 ，而不是3 55 13，或 5 33 13等呢？
2x^3+x^2-2x-1
将2代入x ，16+4-4-1=15=3×5 ×1
在x=2时的值，1、3、5、分别为x-1，x+1，2x+1（最高项次数出现在x前面）
2x^3+x^2-2x-1=（x-1）（x+1）
为何是（2x+1）而不是x+4呢？”最高项次数出现在x前面“是什么意思呢？谢谢啦！

追答

最高项的系数出现在x前面 是系数

追问

为何是11 13 15 ，而不是3 55 13，或 5 33 13等呢？为何是（2x+1）而不是x+4呢？

追答

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追问

“最高项次数出现在x前面 ”是什么意思呢 谢谢

追答

“最高项次数出现在x前面 ”说错了 ，应该是 “最高项系数会出现在x前面 ”或者 所有的x前面的系数相乘 就是最高项的系数

Answer 2

由题意可设
x³+9x²+23x+15
=(x²+ax+b)(x+c)
=x³+(a+c)x²+(b+ac)x+bc
对比系数可得：
a+c=9
b+ac=23
bc=15
解此三元二次方程组得：
a=4,b=3,c=5
∴x³+9x²+23x+15=(x²+4x+3)(x+5)
又x²+4x+3=(x+1)(x+3)
∴x³+9x²+23x+15=(x+1)(x+3)(x+5)

Answer 3

x^3+9x^2+23x+15

分解因式

=x^3+9x^2+8x+15x+15
=x(x^2+9x+8)+15(x+1)
=x(x+1)(x+8)+15(x+1)
提取公因式
=(x+1)[x(x+8)+15]
=(x+1)(x^2+8x+15)

=(x+1)(x+3)(x+5)

Answer 4

如果带入10，则出现结果为2143=15*11*13，结果是何值呢？
在x=10时的值11 13、15 。（注：最高项为3次方，分解成3个数） 分别为x+1，x+3，x+5，则x^3+9x^2+23x+15可能等于(x+1)(x+3)(x+5)，验证后的确如此。

如果最高项次数不是1怎么办？例如： 2x^3+x^2-2x-1
将2代入x ，16+4-4-1=15=3×5 ×1（最高项为3次方，分解成3个数）
在x=2时的值，1、3、5、分别为x-1，x+1，2x+1（最高项次数出现在x前面）
2x^3+x^2-2x-1=（x-1）（x+1）（2x+1）