Question

已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE． 求证：AB=CD．

两种方法解答

Answer 1

　　证明：
　　方法一：延长DE到F，使EF=DE，连接BF，
　　在△DEC和△BEF中
　　BE=CE
　　∠BEF=∠CED
　　EF=DE
　　∴△DEC≌△BEF．
　　∴∠F=∠CDE，BF=CD．
　　∵∠BAE=∠CDE，
　　∴∠BAE=∠F．
　　∴AB=BF．又BF=CD，
　　∴AB=CD．
　　方法二：作BF⊥DE于点F，CG⊥DE于点G．
　　∴∠F=∠CGE=90°．
　　又∵∠BEF=∠CEG，BE=CE，
　　∴△BFE≌△CGE．
　　∴BF=CG．
　　在△ABF和△DCG中，∵∠F=∠DGC=90°，∠BAE=∠CDE，BF=CG，
　　∴△ABF≌△DCG．
　　∴AB=CD．
　　方法三：作CF∥AB，交DE的延长线于点F．
　　∴∠F=∠BAE．
　　又∵∠ABE=∠D，
　　∴∠F=∠D．
　　∴CF=CD．
　　∵∠F=∠BAE，∠AEB=∠FEC，BE=CE，
　　∴△ABE≌△FCE．
　　∴AB=CF．
　　∴AB=CD．