Question

如图，棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中。E、F分别为DD1、DB的中点

求证:(1) E、F 平行 平面ABC1D1
(2) EF 垂直于B1C1
第二题是EF垂直于B1C.. 抄错了 不好意思.。

Answer 1

解：（1）证明：连接BD1，如图，在△DD1B中，E、F分别为D1D，DB的中点，则
​EF∥D1BD1B⊂平面ABC1D1EF⊄平面ABC1D1⇒EF∥平面ABC1D1．
（2）​B1C⊥ABB1C⊥BC1AB，B1C⊂平面ABC1D1AB∩BC1=B⇒
​B1C⊥平面ABC1D1BD1⊂平面ABC1D1⇒
​B1C⊥BD1EF∥BD1⇒EF⊥B1C

Answer 2

证明：(1) 连结BD1
在△BDD1中，E、F分别为DD1、DB的中点，
则可知EF是边BD1的中位线
即有：EF//BD1
又BD1在平面ABC1D1内，而EF不在平面ABC1D1内
所以由线面平行的判定定理可得：
EF//平面ABC1D1

(2) 在正方体AC1中，易知：AB⊥平面BCC1B1
因为B1C在平面BCC1B1内，所以：AB⊥B1C
又在侧面BCC1B1内，面对角线B1C⊥BC1
这就是说B1C垂直于平面ABC1D1内的两条相交直线AB和BC1
所以由线面垂直的判定定理可得：
B1C⊥平面ABC1D1
又BD1在平面ABC1D1内，那么：B1C⊥BD1
因为EF//BD1，所以：B1C⊥EF