Question

设A，B均为四阶方阵，｜A｜＝-3，｜B｜＝2 ，把它们按列分块为A＝（A1，A2，A3，A4）

设A，B均为四阶方阵，｜A｜＝-3，｜B｜＝2 ，把它们按列分块为A＝（A1，A2，A3，A4），B＝（B1，A2，A3，A4），试求行列式｜A＋B｜

Answer 1

｜A＋B｜=｜A1+B1,2A2,2A3,2A4｜（本来行列式没逗号，为了方便你看）提取第2、3、4行的2得
｜A＋B｜=8｜A1+B1,A2,A3,A4｜运用公式，拆开
=8｜A1，A2，A3，A4｜+8｜B1，A2，A3，A4｜
=8｜A｜+8｜B｜=8*（-3）+8*2=-8

追问

设A为4阶方阵且|A|=2，则|A*|=________。
解答：∵AA*=│A│E
两边求行列式的值
│A││A*│=││A│E│
│A││A*│=|A|^n
│A*│=│A│^(n-1)=2^(4-1)=8|
为什么││A│E│后来等价于|A|^n呢？

Answer 2

|A+B|
= | A1+B1,A2,A3,A4|
= | A1,A2,A3,A4| + | B1,A2,A3,A4| --行列式的性质: 分拆
= |A| + |B|
= -3 + 2
= -1.

追问

老师，我还想问个刚在网上看的一道题~行不？设A为4阶方阵且|A|=2，则|A*|=________。
解答：∵AA*=│A│E
两边求行列式的值
│A││A*│=││A│E│
│A││A*│=|A|^n
│A*│=│A│^(n-1)=2^(4-1)=8|
为什么││A│E│后来等价于|A|^n呢？

追答

这是方阵的行列式的性质

|kA| = k^n |A|.